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高中数学教科书中应用问题初探

课程教材研究所 张劲松


    -、数学及其应用

    数学是研究空间形式和数量关系的科学。当代数学能够处理科学中的数据和观测资料,进行推理、演绎、证明,可提供自然现象、社会系统的数学模型。

    数学的特点:高度抽象性、逻辑严密性、应用的广泛性。

    随着社会的发展,数学的地位日益提高,应用越来越广泛。它是人们参加社会生活、从事生产劳动和学习、研究现代科学的基础;它在培养思维品质,提高思维水平方面发挥着特有的作用;它的内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分。

    1959年5月,华罗庚教授在《人民日报》发表了《大哉数学之为用》一文,精彩地叙述数学在“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁”等各方面的应用;进入九十年代,中国科学院数学物理学部在《今日数学及其应用》(王梓坤执笔)一文中,对数学及其应用进行了酣畅淋漓的论述。正如该文的第一句话:“本文的目的是双重的和互补的:一是论述数学在国富民强中的重要意义;二是通过近年来数学在我国的许多应用来证实这种意义的真实性,从而希望提高人们对数学的认识。”

    数学科学的发展对数学课程教材的建设起着至关重要的作用。

    二、数学课程改革中的“应用”

    近年来,数学教育界内的“问题解决”、数学建模等无一例外地把应用提高到一个非常高的程度,因此,正确理解“应用”就成为一个非常重要的问题。

    对于“问题解决”、“大众数学”、“数学建模”、 “应用”等等,对于使数学课程“贴近”实际,历史上已作了许多讨论。事实上,理论与实践相结合是数学课程教材改革的重要目标之一。在两千多年前,数学教育就存在着着眼于实用和训练思维的两大目标。今天数学的内容大大地丰富和深化了,实际应用和训练思维的涵义也大大拓展了。归根到底,数学教育的目的除思想教育方针之外,仍然是这两个目标的结合。数学就自身发展来说,始终是理论与实践密切结合一门科学。

    综观数学教育史,我们不难发现,数学教学总是具有很强职业成分,只是随着中学和大学的学院化,数学和现实的联系才被忽视,但是如何人教“应用”和运用“现实生活”例子为数学教学服务仍有待研究。应用在数学教学中可以有许多解释,有些人为的,非现实生活的例子,也可能有重要的教育价值,能养成学生应用数学的技能,不能一概否定;还有一类传统的例子是过分“现实”的,是直接从职业中拿出来的,如储蓄、税收等,这就有一个谁的“现实”的问题。这些例子只是社会的一些特殊需要,不足取。就算排除了这类实例,还会有多种形式体现“应用”。比如,守门员如何占位才能缩小对手的射门角度?这些问题把数学与实际情境联系在一起,对一些学生有吸引力,但并不是真用数学解决问题,没有哪个球员会这样去计算他们站立的位置。数学的应用主要不在于这样的“应用”,更重要的是,这种“联系”不可能总是结合学生的“现实”的,正如卡尔松说的“现实是主体和时间的函数,对我是现实的,对别人未必是现实的,在过去是现实的,现在不一定再是现实的了”。可见要使课程有“应用”性是既复杂,又有待长期解决的问题。

    前面说的都是用来为数学教学服务的“现实”例子,当数学为现实服务时,情况就完全不同了,它是完全不同的一种例子,它是用数学去描述、理解和解决学生熟悉的社会现实问题,这种问题不仅有社会意义,而且不局限于单一的数学,还要用到学生多方面的知识。

    著名数学教育家弗兰登塔尔曾对数学教学表示了忧虑,他认为,数学教学应讲授从丰富的现实情境中抽象出这些结构的数学发现过程。学习是指形成这种系统化的数学活动过程,而不是系统化的最后结果。因为系统化的最后结果是一个系统,是一个漂亮的封闭系统,甚至封闭到没有入口和出口……学生所要学习的不是作为一个封闭系统的数学,而是作为一项人类活动的数学,即从现实生活出发的数学化过程。如果需要,也可以包括从数学本身出发的数学化过程。学生应该形成一个相对开放的系统,至少是一个既有入口又有出口的封闭系统。

    “问题解决”恰恰反映了“入口”和“出口”问题,即从现实情景(“入口”)出发,这里所说的现实情景,既包括客观的世界和现实的生活,又包括学生的数学现实。事实上,这是应用的一个非常重要的方面。所谓“出口”,是指数学知识应用到现实情景中去。我们所说的应用,不仅仅是解决出口问题,更重要的是解决入口问题,即从现实情景引入数学,让学生随时随地都感到数学就在我身边。

    我国的一些数学教育工作者提出的“掐头去尾烧中段”与“入口”和“出口” 的观点可以说不谋而和,他们都强调数学学习的一个完整过程,要了解数学的来龙去脉。

    强调数学应用现已成为各国数学课程教材改革的共同特点,在数学课程、教科书中更加重视应用。在处理数学内容时,更多地遵循“实际问题→数学概念→实际问题”这个模式来展开。许多教科书面向现实,数学知识的引入以阅读材料的方式出现。这些材料内容广泛,形式各异,图文并茂,有生动具体的现实问题,有让人着迷的数学史,有发人深思的悬念,也有尚未解决的各种实际问题,还有现代数学及其应用的最新发展等。教科书中每节后,还安排大量与现实世界结合并带有挑战性的问题,供学生讨论、思考和实践,并对每一问题在题首注明数学知识被应用的领域(例如天文、建筑、管理、经济、物理、化学等),让学生充分感受数学与其他学科和科学之间的联系。

    总之,数学教育改革中对于应让学生认识有关知识的来龙去脉已形成共识。

    《全日制普通高级中学数学教学大纲(试验修订版)》(以下简称《大纲》)进一步突出了理论联系实际,加强应用。“培养解决实际问题的能力,并逐步形成数学创新意识”是高中数学的教目的之一。

    解决实际问题的能力是指:会提出、分析和解决带有实际意义的或在相关学科、生产和生活中的数学问题;会使用数学语言表达问题、进行交流,形成用数学的意识。

    数学创新意识主要是指:对自然界和社会中的数学现象具有好奇心,不断追求新知,独立思考,会从数学的角度发现和提出问题,加以探索和研究。

    《大纲》在“教学内容和目标”“教学中需注意的几个问题”等处,对应用数学知识解决实际问题只做了原则性的说明。《大纲》中规定的教学内容和教学要求由教科书、教师的教学、学生的学习等多种渠道来体现,教科书如何更好地贯彻大纲中的“应用”,对编者来说,有一个再发现、再创造的过程。

    我们认为,数学应用不仅包括人们常讲的用数学的结论,用数学的方法,用数学的思想,还包括用数学的语言,用数学的观念,用数学的精神。因此,强调数学课程教材中的应用,并不是仅仅通过“增加一些有用的数学内容”,,“在例题和习题中增加一些应用题”,而是要在教材设计、编排体系等方面做更深层次的考虑。

    三、高中数学教科书中的“应用”

    下面以《全日制普通高级中学教科书(试验修订本)数学第一册(上)为例》,对“应用”进行具体的分析:

    1.教学内容的选取

    知识点:函数的应用举例。实习作业。等差数列及其通项公式。等差数列前n项和公式。等比数列及其通项公式。等比数列前n项和公式。

    研究性课题:数列在分期付款中的应用

    教学目标:

    能够运用函数的性质、指数函数、对数函数的性质解决某些简单的实际问题。

    实习作业已函数应用为内容,培养学生应用函数知识解决实际问题的能力。

    理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n项和公式,并能运用公式解决简单的问题。

    理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式,并能运用公式解决简单的问题。

    毋庸讳言,现在的数学教科书主要是以数学知识为中心,进行教材的设计;数学的组织基本上以数学学科的内在逻辑顺序为主线。

    2.教学内容的处理

    (1) 正文:“2.2函数一节中”

    例5  在国内投寄外埠平信,每封信不超过20g付邮资80分,超过20g而不超过40g 付邮资160分,依此类推,试建立平信应付邮资(单位:分)的函数关系,并画出图象。                                 

    这是几乎每个人在现实生活中都会遇到的问题,也即现实情境(问题情境),建立函数关系式(数学模型):

    当邮寄35g的外埠平信时,从图象中可以看出,应付160分的邮资(应用到现实情境中去)。

    这是一个比较简单的“数学建模”过程:问题情境→建立模型→解释与应用。可以说,在一定程度上,“数学建模”使应用更现实化。学生看到数学如何才能应用到真正的“现实生活”问题中,并且渴望获得进一步学习的动力,会自然地寻找“数学建模”的机会。

    在解决实际问题中,“会使用数学语言表达问题、进行交流,形成用数学的意识”是应用的一个重要的方面。从上例中可以看出,在建立数学模型的过程中,自然经历自然语言、数学语言(函数关系式)、图形语言(函数图象)相互转化的过程。

     (2)阅读材料 自由落体运动的数学模型

    该阅读材料结合典型事例,详细地介绍了数学模型的概念、数学模型建立过程,以及利用数学模型方法解决问题的基本步骤。

    (3)研究性课题:数列在分期付款中的作用

    研究性课题主要是指对某些数学问题的深入探讨,或者从数学角度对某些日常生活和其他学科中出现的问题进行研究。充分地体现学生的自主活动和合作活动。研究性课题应以所学的数学知识为基础,并且密切结合生活和生产实际。可以师生自拟课题。提倡教师和学生自己提出问题。

    四、应注意的几个问题

    (一)应用的层次性

    单就出口而言,有以下几个层次:

    1.在数学学科本身的应用。

    由于数学学科本身具有逻辑严密的特点,前面知识的学习为学习后面的知识做准备。换句话说,前面的知识要应用到后面知识的学习中。

    2.在其他相关学科的应用,特别是物理及工程技术中的应用。

    3.应用到现实情境中去

    由于高中学生学习的知识毕竟还是有限的,他们用数学知识解决的现实问题,与应用数学家所面临的现实问题相比,充其量是个“准数学问题”,至少是“半数学化”的问题,是一个经过人为加工的“数学半成品”。

    4.发现问题、提出问题、分析问题、解决问题这四者之间,能够发现问题、提出问题,这是要求最高的。能够解决已经“数学化”了的问题,对学生来讲,是个技能化的过程。而能够发现问题、提出问题、分析问题则是一个能力问题。

    5.数学语言的灵活运用是应用的最高层次,特别是自然语言、数学语言、图形语言的相互转化,以及用数学语言进行交流。

    (二)应用与基础知识的关系

    对高中学生来讲,掌握数学的基础知识应该是教学的首要目标,应用是以掌握数学知识为前提的。应用不仅仅是目的,更重要的是过程,即我们不仅要使学生树立起数学应用意识,认识到数学的广泛应用性特点和应用价值,具备应用数学解决实际问题的规律性认识和操作性能力,而且还要切切实实让学生在应用数学中掌握基础知识和数学方法,学会使用数学语言,并受到数学文化的熏陶。很难想象,没有扎实的基础知识,谈何应用?

    (三)应用与计算机(器)

    计算机(器)的普及,为数学的应用提供了先进的计算工具,更便于处理实际数据,使应用问题更加真实,切合实际;良好的演示平台,使数学应用有了广阔的空间,计算机能够把静态的变成动态的,把抽象的东西具体化,直观化,使人们的思维能够得到一定程度的延伸。

    (四)从数学学习和数学活动看“应用”

    数学不同于其他自然科学,它具有逐级抽象的特点。从客观实际、现实世界中的抽象只是数学的低级抽象;脱离具体事和物的数量关系和空间形式的数学研究的对象是数学的高级抽象。高级抽象是在低级抽象基础上的进一步抽象,它的研究对象是一种形式化的思想材料,是经过人加工了的思想,是人对自然界的概括和认识。数学的逐级抽象性的特点,说明了学生学习过程中思维发展的不同阶段和水平,因而数学的学习活动也是分层次的。学习的最低层次是数学的组织:通过学生自己的猜测、探索,从现实问题情景中提炼数学问题,发现问题及其规律,对问题有整体理解,这是学生数学地组织经验材料的活动层次;学习的第二个层次是将数学问题组织成原理,并用数学语言模式去描绘原理。即通过对脱离具体事和物的数量关系和空间形式的数学研究,构筑抽象理论意义的数学原理。这是学生组织经验领域的活动,是进一步抽象概括数学材料并提炼数学原理的过程;第三个层次是数学原理的验证、推广阶段。如果说前两个层次是“发现”原理的过程,那么这个层次就是验证推广的阶段。验证的过程实际是将“发展”的结果演绎推理的形式系统化、逻辑化的过程;最后一个层次是反省上述学习过程,将抽象结果应用于实际,用以指导现实生活。此层次的反省活动,是对前述认识过程的进一步认识,是对前述学习过程的反思,对整个学习过程起到调节和监控作用。斯托利亚尔认为,数学活动可分为三个阶段:经验材料的数学组织化、数学材料的逻辑组织化、数学理论的应用。这三个阶段构成了学生学习活动的完整过程,忽视甚至丢弃哪个阶段的做法都是不对的。学生亲自感受和经历“发现”数学的过程,也就是数学再创造的过程,唯有以再创造的方式进行数学学习,将知识的发生发展过程理清,才能在数学上向趋向成熟的下一阶段迈进。传统的数学课程只是按照以形式化了的现成的数学规则去操作数学。现在的数学课程强调了经验材料的数学组织和数学的应用。

    “应用”是一个非常大的话题,不但是课程教材改革的问题,而且还涉及教学、学习、评价(考试)等等。笔者认为,“应用”最主要的是教学思想的问题,即在教学中培养学生的应用意识,从“出口”着眼,从“入口”着手。课程教材和评价(考试)只是培养学生应用意识过程的一个必不可少的环节,更重要的是要在平时的教学中去实现。

摘自中学数学